В каких единицах измеряется момент инерции?

Массовый момент инерции измеряется в килограммах на квадратный метр (кг·м²). Для плоских сечений используют осевой момент инерции площади, он измеряется в единицах длины в четвёртой степени, например в мм⁴.

Чем момент инерции отличается от массы?

Масса определяет сопротивление изменению прямолинейного движения, момент инерции — сопротивление изменению вращения. При этом момент инерции зависит не только от массы, но и от того, как эта масса распределена относительно оси.

Почему расстояние до оси входит в квадрате?

Линейная скорость точки при вращении пропорциональна радиусу, а кинетическая энергия — квадрату скорости. Поэтому вклад точки в энергию вращения растёт как квадрат расстояния до оси.

Что такое момент инерции: определение, формулы и вывод

Момент инерции

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Так же как масса определяет, насколько тело сопротивляется изменению прямолинейного движения, момент инерции определяет, насколько тело сопротивляется изменению вращательного движения. Его обычно обозначают буквой I или J и измеряют в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Напомним, что инертность — способность тела сохранять состояние движения при отсутствии внешних сил. В прямолинейном движении это свойство выражается через массу: чем больше масса, тем труднее изменить скорость тела, то есть разогнать его или затормозить. Легче толкнуть футбольный мяч, чем сдвинуть с места автомобиль — у машины гораздо больше масса, а значит выше инертность.

Анимация: тело большей массы труднее разогнать при том же усилии

При вращении понятие инертности сохраняется, но проявляется иначе: тело сопротивляется изменению угловой скорости — ускорению или торможению вращения. Здесь вместо массы появляется аналогичная величина — момент инерции. Если масса показывает, насколько тело «упрямо» при изменении прямолинейного движения, то момент инерции показывает, насколько оно «упрямо» в своём вращении.

Анимация: при одинаковой массе тело с большим моментом инерции вращается медленнее

Когда тело вращается, каждая его точка движется по окружности определённого радиуса относительно оси. Вклад каждой точки в общее сопротивление вращению зависит не только от её массы, но и от того, насколько она удалена от оси: чем дальше точка, тем больше её вклад. На большем расстоянии при том же угловом ускорении требуется больший момент силы.

Общая формула момента инерции

Для механической системы, состоящей из множества материальных точек, момент инерции считается суммой:

J_{a} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i}^{2}

где:

Jₐ — момент инерции относительно оси a
mᵢ — масса i-й точки
rᵢ — расстояние от i-й точки до оси

Для сплошного тела сумма превращается в интеграл произведения квадрата расстояния до оси на бесконечно малые массы dm:

J_{a} = \int_{m} r^{2} d m

Для одной материальной точки выражение сводится к знакомой формуле:

J = m r^{2}

Если выразить dm через плотность и элемент объёма, dm = ρ dV, то получим:

J_{a} = \int_{V} ρ r^{2} d V

где:

ρ — плотность материала
dV — элемент объёма тела
r — расстояние от элемента dV до оси a

Если тело однородно, плотность выносится за знак интеграла:

J_{a} = ρ \int_{V} r^{2} d V

Момент инерции сечения

В сопротивлении материалов чаще нужен не массовый момент инерции, а осевой момент инерции площади сечения: в формуле вместо dm стоит элемент площади dA. Именно его считает калькулятор на главной странице — по осям x и y, а также полярный момент Ip = Ix + Iy.

Что такое момент инерции: определение, формулы и вывод

Момент инерции

Общая формула момента инерции

Момент инерции сечения

Частые вопросы