Чему равен момент инерции прямоугольника?

Относительно центральной горизонтальной оси Ix = b·h³/12, относительно центральной вертикальной оси Iy = h·b³/12, где b — ширина, h — высота сечения.

Как посчитать момент инерции прямоугольника относительно основания?

По теореме о переносе осей: I = Ix + A·d², где A = b·h, а d = h/2 — расстояние от центра тяжести до основания. Получается I = b·h³/3.

Почему Ix зависит от высоты в кубе?

В интеграле стоит квадрат расстояния до оси, а само интегрирование добавляет ещё одну степень высоты. Поэтому увеличение высоты вдвое даёт рост Ix в восемь раз.

Момент инерции прямоугольника: вывод формулы Ix = bh³/12

Момент инерции прямоугольного сечения

Момент инерции — одна из ключевых характеристик сечения: он показывает, как площадь фигуры распределена относительно выбранной оси. Для прямоугольника — самой распространённой формы в расчётах — формула легко выводится аналитически, но за ней стоит фундаментальное интегральное определение.

Определение

Для плоской фигуры осевые моменты инерции относительно осей x и y определяются как интегралы второго порядка по площади:

I_{x} = \int_{A} y^{2} d A, I_{y} = \int_{A} x^{2} d A

Здесь:

A — площадь фигуры
x, y — координаты точки внутри этой площади
Ix — момент инерции относительно оси x
Iy — момент инерции относительно оси y

Постановка задачи

Рассмотрим прямоугольник шириной b и высотой h, расположенный симметрично относительно начала координат: центр находится в точке (0, 0), стороны параллельны осям. Пределы интегрирования тогда такие: по x — от −b/2 до b/2, по y — от −h/2 до h/2.

Прямоугольник шириной b и высотой h с центральными осями x и y

Вывод Ix

I_{x} = \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \int_{- \frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} y^{2} d y d x

Сначала берём внутренний интеграл по y:

\int_{- \frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} y^{2} d y = \frac{h^{3}}{12}

Затем интегрируем по x — подынтегральное выражение от x не зависит:

I_{x} = \frac{h^{3}}{12} \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} d x = \frac{b h^{3}}{12}

Вывод Iy

Рассуждения полностью симметричны: теперь квадрат берётся от координаты x, и ширина входит в куб.

I_{y} = \int_{- \frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^{2} d x d y = \frac{h b^{3}}{12}

Геометрический смысл

Формулы показывают, что Ix сильнее зависит от высоты h, поскольку она входит в кубе, а Iy — от ширины b. Это отражает интуитивное понимание: чем дальше площадь удалена от оси, тем труднее «раскрутить» фигуру относительно этой оси. Поэтому высокое и узкое сечение имеет большой момент инерции относительно горизонтальной оси и маленький — относительно вертикальной. Именно поэтому балку ставят «на ребро».

Где это применяется

в механике — расчёт сопротивления при изгибе и кручении
в строительных конструкциях — балки, фермы, мосты
в машиностроении — валы, рамы, кронштейны
в моделировании — симуляция поведения твёрдых тел

Для произвольных фигур момент инерции вычисляют численно: контур разбивают на треугольники и суммируют вклад каждого — так работают CAD- и МКЭ-пакеты, и так же устроен калькулятор на этом сайте. Но для простых форм вроде прямоугольника аналитические формулы дают точный ответ мгновенно.